老姚专栏 | 比率的统计学——大道至简的典范
本文首发于今晚报（2020-08-17）
原标题为《鱼塘里有多少鱼》，本推文有修订。
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假设有黄豆与绿豆各若干粒混装在一个较大的容器中。若要估计容器中黄豆与绿豆的粒数之比，我们有什么好办法呢？
统计学给出的解决方案是：
首先，将容器中的豆子搅拌均匀，并从中抓取一大把作为样本；然后，数一数样本中黄豆与绿豆各有多少粒，并计算比率；最后，我们将这个样本比率作为估计值。
上述简单案例凸显了统计推断之精髓——通过样本的特征来推断总体的特征。在这里，样本比率反映了样本的特征，而容器中黄豆与绿豆的粒数之比就是需推断或者说估计的总体比率，其反映了总体的特征。用样本比率估计总体比率，当然是因为随着样本容量的增加，两者可以很接近，而这就是比率的统计学。此原理简单而深刻，很多时候能为一些看似棘手的问题提供漂亮的解决方案。
例如，假设一位农户要求我们估算他的鱼塘中有多少条鱼。乍一听，这似乎是一个无从下手的问题。然而，比率的统计学能巧妙地给出答案。
具体来说
首先，我们不妨从鱼塘中捕捉一些鱼，比如100条，并做上标记，然后将这些鱼放回鱼塘。若记鱼塘中共有X条鱼，则有标记的鱼与鱼塘中总鱼数的比率等于100:X，此乃总体比率。然后，通过一些方法尽量让有标记的鱼与其余的鱼均匀地混合在一起。最后，我们从鱼塘中捕捉一些鱼作为样本，以获得样本比率——比如，在捕捉到的150条鱼中，有15条鱼带有标记，则样本比率等于15:150。一旦获得样本比率，根据比率的统计学，就可以估算出鱼塘中到底有多少条鱼——100:X≈15:150。因此，X大约等于1000。
再如，假设一位从事房地产行业的朋友要求我们估算一块地皮的面积，而此块地皮的形状十分不规则。鉴于这位朋友已根据一定的比例尺，在一张A4纸上将此块地皮绘成了地图，我们的任务就简化为估算地图的面积。难道比率的统计学也可用来估算不规则图形的面积？有点不可思议，不过其中的逻辑其实挺简单。
具体过程是
我们首先将这张A4纸平摊在地板上，然后从厨房抓来一把米撒向这张纸。
接下来，我们数一数地图上有多少粒米，而整张A4纸上又有多少粒米。若将计数的结果分别记为M与N，则样本比率等于M:N。那么，这里的总体比率是什么呢？这是一个几何概型问题，不过答案是富有直觉的，那就是总体比率等于地图面积与A4纸面积之比。根据比率的统计学，此总体比率与样本比率M:N近似相等，故有：地图面积≈A4纸面积×M/N。由于A4纸为长方形，其面积很容易被测量，地图面积就相应地被估算出来。
有趣的是，若稍加引申，则我们还能掌握一个估算圆周率π的统计学方法。具体来说，假设上述案例中的不规则图形是一个圆，那么利用比率的统计学，我们可估算出这个圆的面积S。根据圆的面积公式有：π=S/r^2，其中r^2代表圆半径的平方。因此，一旦S被估算出来，r被测量，就可以获得π的估计值。
大道至简、大简致用，比率的统计学就是经典的例子。
企研数据创始学术顾问 · 姚耀军
姚耀军，1976年出生，湖北利川人，浙江工商大学金融学院教授，博士生导师，浙江省高校中青年学科带头人，浙江省首期之江青年社科学者，企研数据创始学术顾问。曾获中国制度经济学年会优秀论文奖、全国金融硕士教学案例大赛优秀案例奖、浙江省高校优秀科研成果一等奖、《金融研究》优秀论文奖、《财经研究》创刊60周年优秀论文一等奖等荣誉。担任《金融研究》《财经研究》等多个学术期刊的审稿专家。研究领域：金融发展理论与实证、应用计量经济学。
邮箱：yaoyaojun@163.com
代表论文：
[1]姚耀军，施丹燕.互联网金融区域差异化发展的逻辑与检验——路径依赖与政府干预视角[J].金融研究，2017(05):127-142.
[2]姚耀军.制度质量对外资银行进入的影响——基于腐败控制维度的研究[J].金融研究，2016(03):124-139.
[3]姚耀军，董钢锋.中小企业融资约束缓解:金融发展水平重要抑或金融结构重要?-来自中小企业板上市公司的经验证据[J].金融研究，2015(04):148-161.
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文 | 姚耀军
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